5. Zadatak

Prednje staklo autobusa je pravokutnog oblika, visine 1.5 m i duljine $1.5\sqrt3$ m, a brisači stakla učvršćeni su u donjem lijevom i donjem desnom kutu stakla. Ako je duljina brisača jednaka visini prednjeg stakla autobusa, koliki postotak površine stakla brišu brisači?

Rješenje

Neka je a duljina ,a b visina prednjeg stakla autobusa. Tada je $a=1.5\sqrt3$ , $b=1.5$ .

Budući da je $\sqrt3 < 2$ , onda je $a<2b$ .

Prednje staklo ABCD s lukovima brisača, sjecištem S i visinom SN.

Neka su oznake kao na slici

Kako je $|AS| = |BS| = b$ , onda je $\triangle ABS$ jednakokračan pa je $|\angle NBS| = |\angle SAN|$ i visina $\overline{SN}$ na osnovicu $\overline{AB}$ raspolavlja tu osnovicu, tj. $|AN| = |BN| = \frac{a}{2}$ .

S obzirom da je $\triangle ANS$ pravokutan, prema Pitagorinom poučku vrijedi $|AN|^2 + |NS|^2 = |AS|^2$ pa je $\left(\frac{a}{2}\right)^2 + x^2 = b^2$ odnosno $\left(\frac{1.5\sqrt3}{2}\right)^2 + x^2 = 1.5^2$ .

Slijedi $x = \frac{1.5}{2}$ odnosno $x = \frac{b}{2}$ što znači da je $\triangle ANS$ polovica jednakostraničnog trokuta. Dakle, $\alpha = 30^\circ$ .

Neka je $P_1$ površina kružnog isječka u krugu polumjera $\overline{AS}$ sa središnjim kutom $\alpha$ , $P_2$ površina kružnog isječka u krugu polumjera $\overline{AD}$ sa središnjim kutom $\angle DAN$ i P površina stakla kojeg brišu brisači. Tada je $P = 2 \cdot P_2 - 2 \cdot (P_1 - P_{\triangle ANS})$ .

Vrijedi $P_1 = \frac{b^2\pi\alpha}{360^\circ} = \frac{2.25\pi}{12}$ , $P_2 = \frac{b^2\pi90^\circ}{360^\circ} = \frac{2.25\pi}{4}$ , $P_{\triangle ANS} = \frac{|AN| \cdot |NS|}{2} = \frac{ab}{8} = \frac{2.25\sqrt3}{8}$ pa je $P = \frac{2.25\pi}{3} + \frac{2.25\sqrt3}{4}.$ Dalje je $\frac{P}{P_{ABCD}} = \frac{2.25 \cdot \left(\frac\pi3 + \frac{\sqrt3}{4}\right)}{2.25\sqrt3} = \frac{\pi\sqrt3}{9} + \frac14 \approx 85\%.$ Brisači brišu približno 85% površine stakla.