7. Zadatak

Kako je četverokut ABCD paralelogram i $|\angle BAD|=60^\circ$, onda je $|\angle DCB|=60^\circ$, $|\angle CBA|=|\angle ADC|=120^\circ$.

Simetrale kutova raspolavljaju kutove pa je slika sljedeća

Dakle, $|\angle BGC|=90^\circ$ i $|\angle CFD|=90^\circ$ pa je $|\angle FGB|=90^\circ$ i $|\angle KFG|=90^\circ$ što znači da je četverokut BGFK pravokutni trapez.

Trokut $\triangle BCG$ je polovica jednakostraničnog trokuta pa vrijedi

$$|BG|=\frac{|BC|}{2}=8\ \mathrm{dm}\quad\text{i}\quad |CG|=\frac{|BC|\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}\ \mathrm{dm}.$$

Trokut $\triangle CDF$ je polovica jednakostraničnog trokuta pa vrijedi

$$|DF|=\frac{|DC|}{2}=12\ \mathrm{dm}\quad\text{i}\quad |CF|=\frac{|DC|\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}\ \mathrm{dm}.$$

Budući da je $|\angle KAD|=|\angle ADK|=60^\circ$, onda je $\triangle AKD$ jednakostraničan pa je $|KD|=|AD|=16\ \mathrm{dm}$.

Dalje je $|KF|=|KD|-|DF|=4\ \mathrm{dm}$ i $|FG|=|CF|-|CG|=4\sqrt{3}\ \mathrm{dm}$.

Na kraju za površinu $P$ pravokutnog trapeza BGFK vrijedi

$$P=\frac{|BG|+|KF|}{2}\cdot|FG|=24\sqrt{3}\ \mathrm{dm}^2.$$