6. Zadatak

Neka je $ABC$ trokut. Simetrale vanjskih kutova u vrhovima $A$ i $B$ zatvaraju kut $67^\circ$ , a visina iz vrha $C$ i simetrala kuta u vrhu $C$ zatvaraju kut $15^\circ$ . Odredi mjere kutova tog trokuta.

Rješenje

Neka su $\alpha$ , $\beta$ i $\gamma$ mjere unutarnjih kutova trokuta $ABC$ . Tada su u vrhovima $A$ i $B$ mjere vanjskih kutova $180^\circ-\alpha$ i $180^\circ-\beta$ , redom.

Kako je $P$ sjecište simetrala vanjskih kutova u vrhovima $A$ i $B$ , vrijedi

|\angle PAB|=(180^\circ-\alpha)/2=90^\circ-\frac{\alpha}{2},

|\angle ABP|=(180^\circ-\beta)/2=90^\circ-\frac{\beta}{2}.

Iz zbroja mjera unutarnjih kutova trokuta $APB$ slijedi

90^\circ-\frac{\alpha}{2}+90^\circ-\frac{\beta}{2}+67^\circ=180^\circ,

odnosno $\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=67^\circ$ . Dakle, $\alpha+\beta=134^\circ$ .

Slijedi $\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)=180^\circ-134^\circ=46^\circ$ .

Neka je $M$ sjecište simetrale unutarnjeg kuta pri vrhu $C$ i stranice $\overline{AB}$ , a $N$ nožište visine iz vrha $C$ . Pretpostavimo da je $|\angle BAC|<|\angle CBA|$ .

Trokut ABC, simetrale kutova i visina iz vrha C

Vrijedi $|\angle ACM|=|\angle MCB|=\gamma/2=23^\circ$ .

U pravokutnom trokutu $ANC$ slijedi $\alpha=|\angle NAC|=90^\circ-|\angle ACN|=90^\circ-38^\circ=52^\circ$ .

Konačno, iz $\alpha+\beta=134^\circ$ i $\alpha=52^\circ$ slijedi $\beta=82^\circ$ .

U slučaju da je $|\angle BAC|>|\angle CBA|$ , skica je osnosimetrična obzirom na visinu $v$ i unutarnji kutovi trokuta $ABC$ su $\alpha=82^\circ$ , $\beta=52^\circ$ , $\gamma=46^\circ$ .