2. Zadatak

Prvi način:

Označimo tražene prirodne brojeve s $x$ i $y$. Vrijedi $x\cdot y=2\,538$.

Umanjimo li broj $x$ za $6$, novi broj ima vrijednost $x-6$.

Vrijedi $(x-6)\cdot y=2\,214$.

To se može napisati kao $x\cdot y-6\cdot y=2\,214$.

Koristeći poznatu vrijednost umnoška $x\cdot y$ dobije se $2\,538-6y=2\,214$, odnosno $6y=2\,538-2\,214=324$, pa slijedi $y=324:6=54$. Onda je $x=2\,538:54=47$.

Drugi način:

Označimo tražene prirodne brojeve s $x$ i $y$. Vrijedi $x\cdot y=2\,538$.

Umanjimo li broj $x$ za $6$, novi broj ima vrijednost $x-6$.

Sada vrijedi $(x-6)\cdot y=2\,214$.

Umnoške ćemo rastaviti na proste faktore:

$$2\,538=2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot47 \quad\text{i}\quad 2\,214=2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot41.$$

Brojevi koji se razlikuju za $6$ su $47$ i $41$, znači, $x=47$.

Onda je $y=2\,538:47=54$ (ili $y=2\cdot3\cdot3\cdot3$).

Treći način:

Dvije znamenke čiji umnožak završava znamenkom $8$ i jedna od njih veća od $6$ su: $1$ i $8$, $4$ i $7$, $2$ i $9$ te $6$ i $8$.

Ako veću znamenku umanjimo za $6$, dobit ćemo parove: $1$ i $2$, $4$ i $1$, $2$ i $3$ te $6$ i $2$.

Računanjem njihovih umnožaka ($1\cdot2=2$, $4\cdot1=4$, $2\cdot3=6$, $6\cdot2=12$) nalazimo da je traženi par znamenaka $4$ i $7$.

Traženi brojevi završavaju znamenkama $4$ i $7$.

Kako broj $2\,538$ nije djeljiv ni s $4$ ni sa $7$, zaključujemo da niti jedan od faktora ne može biti jednoznamenkasti broj.

Množimo dvoznamenkaste brojeve koji završavaju znamenkama $4$ i $7$:

$$\begin{aligned} 24\cdot97&=2328<2538 &\qquad 34\cdot87&=2958>2538\\ 34\cdot77&=2618>2538 &\qquad 34\cdot67&=2278<2538\\ 44\cdot57&=2508<2538 &\qquad 54\cdot47&=2538 \end{aligned}$$

Provjeravamo umnožak brojeva $54$ i $41$.

$$54\cdot41=2214$$

To su brojevi $54$ i $47$.