7. Zadatak

Ana je odabrala pet prirodnih brojeva: $35$ , $13$ i još tri broja $a$ , $b$ i $c$ za koje vrijedi $10<a<20$ , $20<b<30$ i $10<c<20$ .

Svih pet brojeva redom je zaokružila na desetice prema matematičkim pravilima. Pri tome je $a$ i $b$ zaokružila na prethodnu deseticu, a $c$ na sljedeću.

Razlika zbroja odabranih brojeva i zbroja brojeva zaokruženih na desetice iznosi $3$ .

Odredite sve vrijednosti brojeva $a$ , $b$ i $c$ koje je Ana mogla odabrati, a koji udovoljavaju uvjetima zadatka.

Iz uvjeta zadatka $10<a<20$ , $20<b<30$ , $10<c<20$ i uvjeta da je Ana brojeve $a$ i $b$ zaokružila na prethodnu deseticu, a $c$ na sljedeću slijedi: $a$ je zaokružila na $10$ , $b$ na $20$ i $c$ na $20$ .

Zbroj brojeva nakon zaokruživanja na desetice je $40+10+10+20+20=100$ .

To nadalje znači da je zbroj pet dvoznamenkastih brojeva koje je Ana odabrala $103$ .

Budući da je broj $a$ kod zaokruživanja na desetice zaokružen na prethodnu deseticu i da je $10<a<20$ , zaključujemo $a\in\{11,12,13,14\}$ .

Budući da je broj $b$ kod zaokruživanja na desetice zaokružen na prethodnu deseticu i da je $20<b<30$ , zaključujemo $b\in\{21,22,23,24\}$ .

Budući da je broj $c$ kod zaokruživanja na desetice zaokružen na sljedeću deseticu i da je $10<c<20$ , zaključujemo $c\in\{15,16,17,18,19\}$ .

Budući da je $35+13+a+b+c=103$ , slijedi da je

\begin{aligned} a+b+c&=103-(35+13),\\ a+b+c&=55. \end{aligned}

Da bismo našli sva rješenja, trebamo ispitivati uvjete koji su zadani. To su: $a\in\{11,12,13,14\}$ , $b\in\{21,22,23,24\}$ , $c\in\{15,16,17,18,19\}$ i $a+b+c=55$ .

Raspravu zapišimo tablicom.

$a$	$b$	$c$	Napomena
$11$	$21$	$55-32=23$	nije rješenje, jer je $c\in\{15,16,17,18,19\}$
$11$	$22$	$55-33=22$	nije rješenje, jer je $c\in\{15,16,17,18,19\}$
$11$	$23$	$55-34=21$	nije rješenje, jer je $c\in\{15,16,17,18,19\}$
$11$	$24$	$55-35=20$	nije rješenje, jer je $c\in\{15,16,17,18,19\}$
$12$	$21$	$55-33=22$	nije rješenje, jer je $c\in\{15,16,17,18,19\}$
$12$	$22$	$55-34=21$	nije rješenje, jer je $c\in\{15,16,17,18,19\}$
$12$	$23$	$55-35=20$	nije rješenje, jer je $c\in\{15,16,17,18,19\}$
$12$	$24$	$55-36=19$	1. rješenje
$13$	$21$	$55-34=21$	nije rješenje, jer je $c\in\{15,16,17,18,19\}$
$13$	$22$	$55-35=20$	nije rješenje, jer je $c\in\{15,16,17,18,19\}$
$13$	$23$	$55-36=19$	2. rješenje
$13$	$24$	$55-37=18$	3. rješenje
$14$	$21$	$55-35=20$	nije rješenje, jer je $c\in\{15,16,17,18,19\}$
$14$	$22$	$55-36=19$	4. rješenje
$14$	$23$	$55-37=18$	5. rješenje
$14$	$24$	$55-38=17$	6. rješenje

Ana je mogla odabrati sljedeće brojeve:

$1)\ a=12$ , $b=24$ i $c=19$ ,

$2)\ a=13$ , $b=23$ i $c=19$ ,

$3)\ a=13$ , $b=24$ i $c=18$ ,

$4)\ a=14$ , $b=22$ i $c=19$ ,

$5)\ a=14$ , $b=23$ i $c=18$ ,

$6)\ a=14$ , $b=24$ i $c=17$ .