5. Zadatak

Produljimo visinu $\overline{CH}$ u trokutu $ABC$ preko točke $H$ do točke $D$ tako da je $|CH|=|HD|$.

Tada je $\triangle AHC\cong\triangle AHD$ (dvije stranice i kut među njima), pa je $\angle ADC=\angle ACD=90^\circ-\angle HAC=90^\circ-\alpha=60^\circ$. Dakle, trokut $ADC$ je jednakostraničan, pa je $|CH|=\frac12|CD|=\frac b2$.

Sada primjenom Pitagorinog poučka na trokute $AHC$ i $CHB$ dobivamo:

$$\begin{aligned} c=|AB|=|AH|+|HB|&=\sqrt{|AC|^2-|CH|^2}+\sqrt{|BC|^2-|CH|^2}\\ &=\sqrt{b^2-\left(\frac b2\right)^2}+\sqrt{a^2-\left(\frac b2\right)^2}\\ &=\sqrt{\frac{27}{4}}+\sqrt{\frac{187}{4}}=\frac12(3\sqrt3+\sqrt{187}) \end{aligned}$$