3. Zadatak

Prvo rješenje: Neka je $p$ prost broj veći od 3. Treba dokazati da je $p^2-1$ djeljivo s 24. Imamo $p^2-1=(p-1)(p+1)$.

Budući da je $p$ prost broj veći od 3, broj $p$ mora biti neparan, pa su brojevi $p-1$ i $p+1$ uzastopni parni brojevi i jedan od njih je djeljiv s 4. Produkt $(p-1)(p+1)$ je djeljiv s 8.

Od tri uzastopna prirodna broja $p-1$, $p$, $p+1$ jedan je djeljiv s 3. Kako to nije $p$, ostaje da je jedan od brojeva $p-1$, $p+1$ djeljiv s 3. Dakle, $(p-1)(p+1)$ je djeljivo s 8 i s 3, pa je $p^2-1=(p-1)(p+1)$ djeljivo s 24.

Drugo rješenje: Prost broj veći od 3 je oblika $6k\pm1$. Stoga je

$$p^2-1=(6k\pm1)^2-1=36k^2\pm12k+1-1=12k(3k\pm1).$$

Brojevi $k$ i $3k\pm1$ su različite parnosti, pa je njihov produkt paran broj, a gornji izraz djeljiv s 24. Time je tvrdnja dokazana.