4. Zadatak

Pretpostavimo da takav trokut postoji i da su duljine kateta $x$ i $y$. Iz Pitagorinog poučka je $x^2+y^2=2006$. Broj 2006 je paran, pa su $x$ i $y$ brojevi iste parnosti. Kad bi bili parni, $x^2$, $y^2$ i $x^2+y^2$ bi bili djeljivi s 4, a 2006 nije djeljiv s 4. Stoga su oba neparni.

Uvedimo supstitucije $x=2k+1$, $y=2l+1$, gdje su $k$ i $l$ prirodni brojevi. Jednadžba tada postaje

$$\begin{aligned} (2k+1)^2+(2l+1)^2&=2006\\ 4k^2+4k+1+4l^2+4l+1&=2006\\ 4k^2+4k+4l^2+4l&=2004\qquad /:4\\ k(k+1)+l(l+1)&=501. \end{aligned}$$

Za svaki prirodan broj $k$, točno jedan od brojeva $k$, $k+1$ je paran. Stoga je lijeva strana gornje jednadžbe paran broj, a desna neparan, pa ta jednadžba, a onda i polazna jednadžba $x^2+y^2=2006$ nemaju cjelobrojnih rješenja.