5. Zadatak

Neka su $\alpha$ i $\beta$ kutovi trokuta $ABC$. Tada je zbog okomitih krakova i $\angle PNB=\alpha$, a $\angle AMP=\angle CMN=\beta$. Trokuti $APM$ i $BPN$ su slični, pa je $\frac c2:m=n:\frac c2$, odakle dobivamo duljinu hipotenuze $c=2\sqrt{mn}$. Iz trokuta $APM$ dobivamo još da je $|AM|=\sqrt{\frac{c^2}{4}+m^2}=\sqrt{mn+m^2}$.

Trokuti $APM$ i $ABC$ su slični, pa je $m:|AM|=a:c$, odnosno $a|AM|=mc$. Uvrštavanjem i sređivanjem dobivamo duljinu prve katete $a=\frac{2m\sqrt{mn}}{\sqrt{mn+m^2}}$.

Trokuti $APM$ i $MCN$ su slični, pa je $m:|AM|=(b-|AM|):(n-m)$, odnosno $(b-|AM|)|AM|=m(n-m)$. Sređivanjem dobivamo duljinu druge katete $b=\frac{2mn}{\sqrt{mn+m^2}}$.