4. Zadatak

Izdvojimo karakterističan trokut pravilnog osmerokuta $\triangle ABS$. Duljine krakova su 8 cm. Točka $N$ pripada $\overline{BS}$ i $AN\perp BS$, tj. $\overline{AN}$ je visina na krak $\triangle ABS$.

$\angle ASB=45^\circ$, pa je $\triangle ANS$ jednakokračan i pravokutan.

Neka je $|AN|=|NS|=v_b$. U $\triangle ANS$ vrijedi $r=v_b\sqrt2$, odakle je

$$v_b\sqrt2=8,\quad\text{tj.}$$ $$v_b=4\sqrt2.$$

Površina $\triangle ABS$ je

$$P_{\triangle ABS}=\frac12\cdot8\cdot4\sqrt2=16\sqrt2\text{ cm}^2.$$

Površina osmerokuta je

$$P=8\cdot P_{\triangle ABS}=8\cdot16\sqrt2=128\sqrt2\text{ cm}^2.$$