5. Zadatak

1. način. Pokažimo najprije da je barem jedan od brojeva $a_n$ ili $b_n$ djeljiv s 5. Izračunajmo njihov umnožak:

$$\begin{aligned} a_nb_n&=[(2^{2n+1}+1)-2^{n+1}]\cdot[(2^{2n+1}+1)+2^{n+1}]\\ &=(2^{2n+1}+1)^2-(2^{n+1})^2=2^{4n+2}+2\cdot2^{2n+1}+1-2^{2n+2}\\ &=4^{2n+1}+1=(4+1)(4^{2n}-4^{2n-1}+4^{2n-2}-\ldots-4+1)\\ &=5\cdot(4^{2n}-4^{2n-1}+4^{2n-2}-\ldots-4+1). \end{aligned}$$

Izraz u zagradi je očito prirodan broj za svaki $n\in\mathbb N$. $a_n\cdot b_n$ djeljiv s 5 za svaki $n\in\mathbb N$.

Pokažimo sad da oba broja ne mogu biti djeljiva s 5. U tu je svrhu dovoljno pogledati njihovu razliku:

$$b_n-a_n=2\cdot2^{n+1}=2^{n+2}.$$

Ta razlika nije djeljiva s 5, a jedan od brojeva $a_n$, $b_n$ jeste. Zato drugi nije djeljiv s 5.

2. način. Zadatak se može riješiti promatranjem ostataka pri djeljivosti s 5.

Niz $2^n$ pri dijeljenju sa 5 daje ostatke 2, 4, 3, 1, … Ovi se ostatci dalje periodički ponavljaju s periodom 4.

Niz $2^{n+1}$ daje ostatke 4, 3, 1, 2, … Ostatci niza $2^{2n+1}=2^n\cdot2^{n+1}$ pri dijeljenju s 5 najlakše se dobiju tako da se pomnože članovi prvih dvaju nizova. Tako dobivamo: 3, 2, 3, 2, … Ovaj je niz periodički s periodom 2.

Sve ove rezultate možemo napisati u obliku tablice:

$n$	$2^n$	$2^{n+1}$	$2^{2n+1}$	$a_n$	$b_n$
1	2	4	3	0	3
2	4	3	2	0	1
3	3	1	3	3	0
4	1	2	2	1	0
5	2	4	3	0	3
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

U svakom retku, točno jedan od posljednja dva broja jednak je nuli, pa je točno jedan od brojeva $a_n$, $b_n$ djeljiv s 5.