3. Zadatak

a) Stavimo $z=x+iy$. Dobivamo:

$$x-iy=x^3-3xy^2+3x^2yi-y^3i$$

i odavde

$$\begin{cases}x(x^2-3y^2-1)=0,\\y(3x^2-y^2+1)=0.\end{cases}$$

Mogućnost $x=0$ daje $y(-y^2+1)=0$, tj. $y_1=0$, $y_2=1$, $y_3=-1$.

Ako je $x^2-3y^2-1=0$, tada iz $x^2=3y^2+1$ dobivamo $y(8y^2+4)=0$ i odavde $y=0$, $x=\pm1$. Postoji dakle pet rješenja: $z_1=0$, $z_2=1$, $z_3=i$, $z_4=-1$, $z_5=-i$.

b) Najprije dobivamo

$$|z|=|\bar z|=|z^5|=|z|^5$$

pa mora biti $|z|=0$ ili $|z|^4=1$, tj. $|z|=1$. Odavde dobivamo prvo rješenje: $z_0=0$.

Neka je sad $z\neq0$. Množenjem početne jednakosti sa $z$ dobivamo ekvivalentnu:

$$z\bar z=z^6\implies|z|^2=z^6$$

tj. $1=z^6$ i odavde $z=\sqrt[6]1$.

Rješenja ove jednakosti su $z_k=\cos\frac{2k\pi}6+i\sin\frac{2k\pi}6$, $k=1,2,\ldots,6$. Tako dobivamo: $z_1=\frac12+i\frac{\sqrt3}2$, $z_2=-\frac12+i\frac{\sqrt3}2$, $z_3=-1$, $z_4=-\frac12-i\frac{\sqrt3}2$, $z_5=\frac12-i\frac{\sqrt3}2$, $z_6=1$.

Napomena. Oba se dijela mogu riješiti istovremeno, kao u postupku b), promatranjem jednadžbe $z^n=\bar z$.