4. Zadatak

Označimo točke kao na slici

a) Budući je $|AP|=|RC|$ i $AP\parallel RC$, onda je $AR\parallel CP$. Na isti način, iz $|BQ|=|DS|$ i $BQ\parallel DS$ slijedi da je $BS\parallel DQ$. Zato je četverokut $KLMN$ paralelogram.

b) Dužina $\overline{QL}$ je srednjica trokuta $BCK$, jer je $QL\parallel BK$ i $|BQ|=|QL|$. Zato vrijedi $|KL|=|LC|$.

Iz istog razloga je $|AN|=|NM|$.

Dužina $\overline{PK}$ je srednjica trokuta $ABN$, pa je $|PK|=\frac12|AN|=\frac12|NM|=\frac12|KL|$.

Dobili smo: $|KL|=|LC|=2|PK|$ pa je $|KL|=\frac25|PC|$.

Dalje imamo

$$P_{KLMN}=|KL|\cdot v=\frac25|PC|\cdot v=\frac25\cdot P_{APCR}$$

(Ovdje je $v$ visina paralelograma $KLMN$ s osnovicom $\overline{KL}$.)

Budući da je trokut $ADR$ sukladan trokutu $BCP$, jer se podudaraju u tri stranice, onda je

$$P_{APCR}=2\cdot P_{ADR}=2\cdot\frac14\cdot P_{ABCD}=\frac12\cdot P_{ABCD}.$$

Tako dobivamo $P_{KLMN}=\frac25\cdot\frac12\cdot P_{ABCD}=\frac15\cdot P_{ABCD}$.