1. Zadatak

Neka je $z=a+bi$. Tada je

$$4=|z|^2=a^2+b^2,\ \text{tj.}\ a^2+b^2=4,$$

pa imamo

$$\begin{aligned} \left|z-\frac1z\right|^2&=\left|a+bi-\frac1{a+bi}\right|^2=\left|a+bi-\frac{a-bi}{a^2+b^2}\right|^2\\ &=\left|a+bi-\frac{a-bi}4\right|^2=\left|\frac34a+\frac54bi\right|^2\\ &=\frac9{16}a^2+\frac{25}{16}b^2=\frac9{16}(4-b^2)+\frac{25}{16}b^2\\ &=\frac94+b^2. \end{aligned}$$

Funkcija $\left|z-\frac1z\right|^2$ postiže minimum $\frac94$ za $b^2=0$, pa funkcija $\left|z-\frac1z\right|$ postiže minimum $\frac32$ za $b=0$, pri čemu je $a^2=4$, tj. $a=\pm2$.

S obzirom da vrijedi $a^2+b^2=4$, maksimalna vrijednost za $b^2$ je 4. Zato funkcija $\left|z-\frac1z\right|^2$ postiže maksimum $\frac94+4$ za $b^2=4$, pa funkcija $\left|z-\frac1z\right|$ postiže maksimum $\frac52$ za $b=\pm2$, pri čemu je $a^2=0$, tj. $a=0$.

Napomena. Slično se zaključivanje može izvesti i iz:

$$\left|z-\frac1z\right|^2=\frac9{16}a^2+\frac{25}{16}b^2=\frac94+b^2.$$