5. Zadatak

Neka se dijagonale pravokutnika sijeku u točki $S$. Promatramo trokute $ABS$ i $BCS$. Polumjeri kružnica upisanih tim trokutima su $r_1$ i $r_2$, kao na slici.

Ti trokuti imaju jednake ploštine $P$, jer je ploština svakog jednaka četvrtini ploštine paralelograma.

Poluopsege tih trokuta označimo $s_1$ i $s_2$. Vrijedi $P=r_1s_1=r_2s_2$, odakle je $r_1:r_2=s_2:s_1$. Ako je $d$ duljina dijagonale pravokutnika, tada je $s_1=\frac{\frac d2+\frac d2+a}{2}=\frac{d+a}{2}$.

Isto je tako $s_2=\frac{d+b}{2}$. Zato je $r_1:r_2=(d+b):(d+a)$.

Izračunajmo $d$. Omjer $a:b=12:5$ možemo pisati kao $a=12k$, $b=5k$, $k\in\mathbb R_+$.

$$d^2=a^2+b^2=(12k)^2+(5k)^2=144k^2+25k^2=169k^2,$$ $$d=13k.$$

Konačno je

$$r_1:r_2=(13k+5k):(13k+12k)=(18k):(25k),$$

to jest

$$r_1:r_2=18:25.$$