3. Zadatak

Prve dvije jednakosti možemo napisati ovako:

$$\frac ax+\frac by=\frac by+\frac cz=\frac cz+\frac ax.$$

Odavde dobivamo:

$$\frac ax=\frac by=\frac cz\implies x=\frac{az}c,\quad y=\frac{bz}c.$$

Sad je

$$\frac ax+\frac by=\frac a{\frac{az}c}+\frac b{\frac{bz}c}=\frac{2c}z.$$

S druge strane, iz zadanih jednadžbi vrijedi

$$\begin{aligned} \frac ax+\frac by&=\frac{4(a^2+b^2+c^2)}{x^2+y^2+z^2}=\frac{4(a^2+b^2+c^2)}{\frac{a^2z^2}{c^2}+\frac{b^2z^2}{c^2}+z^2}\\ &=\frac{4c^2(a^2+b^2+c^2)}{z^2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{4c^2}{z^2} \end{aligned}$$

Odavde sad slijedi

$$\frac{4c^2}{z^2}=\frac{2c}z\implies\frac{2c}z=1$$

Tako dobivamo rješenje: $z=2c$, $x=2a$, $y=2b$.