4. Zadatak

1. način: Imamo redom

$$\begin{aligned} \frac{a-b}{a^2+b^2}\leq\frac{\sqrt2}{4}&\iff\frac{(a-b)^2}{(a^2+b^2)^2}\leq\frac18\\ &\iff(a^2+b^2)^2\geq8(a-b)^2\\ &\iff(a^2+b^2)^2-8(a^2+b^2-2ab)\geq0\\ &\iff(a^2+b^2)^2-8(a^2+b^2)+16\geq0\\ &\iff(a^2+b^2-4)^2\geq0. \end{aligned}$$

Jednakost vrijedi za $a^2+b^2=4$. Ovu jednakost možemo pisati $(a+b)^2-2ab=4$, a odavde nalazimo $a+b=\sqrt6$.

2. način: Dana nejednakost ekvivalentna je s $2\sqrt2(a-b)\leq a^2+b^2$, odnosno zbog $ab=1$,

$$2\sqrt2\left(a-\frac1a\right)\leq a^2+\frac1{a^2}.$$

Stavimo $t=a-\frac1a$.

Tada je $a^2+\frac1{a^2}=t^2+2$, a dana nejednakost ekvivalentna s $2\sqrt2t\leq t^2+2$ odnosno $(t-\sqrt2)^2\geq0$, a to očito vrijedi.

Jednakost je ispunjena kada je $t=\sqrt2$, odnosno $a-\frac1a=\sqrt2$.

Rješenja jednadžbe su $a=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}$, $b=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2}$ (ili obratno), pa je $a+b=\sqrt6$.