1. Zadatak

Zadatak rješavamo analitičkom geometrijom. Trokut možemo smjestiti u koordinatni sustav na različite načine.

(a) Neka središte kružnice bude u ishodištu.

Visina trokuta je $6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3$. Polumjer kružnice je trećina visine, $r=\sqrt3$. Koordinate vrhova su $A(-3,-\sqrt3)$, $B(3,-\sqrt3)$, $C(0,2\sqrt3)$, a koordinate točke $T$ na kružnici $T(x,y)$. Jednadžba kružnice je

$$x^2+y^2=3.$$

Stoga vrijedi:

$$\begin{aligned} |TA|^2+|TB|^2+|TC|^2&=(x+3)^2+(y+\sqrt3)^2+(x-3)^2+(y+\sqrt3)^2+x^2+(y-2\sqrt3)^2\\ &=x^2+6x+9+y^2+2\sqrt3y+3+x^2-6x+9+y^2+2\sqrt3y+3+x^2+y^2-4\sqrt3y+12\\ &=3(x^2+y^2)+36\\ &=9+36=45. \end{aligned}$$

(b) Izabere li učenik koordinatni sustav tako da vrh $A$ bude u ishodištu, onda su koordinate vrhova $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(3,3\sqrt3)$, središte kružnice je $S(3,\sqrt3)$. Jednadžba trokutu upisane kružnice je:

$$(\sqrt3)^2=(x-3)^2+(y-\sqrt3)^2,$$ $$x^2-6x+y^2-2\sqrt3y+9=0.$$

Stoga vrijedi:

$$\begin{aligned} |TA|^2+|TB|^2+|TC|^2&=(x^2+y^2)+((x-6)^2+y^2)+((x-3)^2+(y-3\sqrt3)^2)\\ &=3x^2+3y^2-18x-6\sqrt3y+72\\ &=3(x^2-6x+y^2-2\sqrt3y+9)+45=45. \end{aligned}$$