5. Zadatak

Za $n=6$ postoji niz s traženim svojstvima, npr.

$$3,-5,3,3,-5,3.$$

Pretpostavimo da postoji niz duljine $n\geq7$ s traženim svojstvima. Odaberimo bilo kojih 7 uzastopnih članova

$$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7$$

takvog niza. Tada zbog (i) vrijedi

$$(1)\quad\begin{cases}a_1+a_2+a_3>0,\\a_2+a_3+a_4>0,\\a_3+a_4+a_5>0,\\a_4+a_5+a_6>0,\\a_5+a_6+a_7>0.\end{cases}$$ $$(2)\quad\begin{cases}a_1+a_2+a_3+a_4+a_5<0,\\a_2+a_3+a_4+a_5+a_6<0,\\a_3+a_4+a_5+a_6+a_7<0.\end{cases}$$

Zbrajanjem nejednakosti (1) dobiva se

$$\begin{aligned}&(a_1+a_2+a_3)+(a_2+a_3+a_4)+(a_3+a_4+a_5)\\&\quad+(a_4+a_5+a_6)+(a_5+a_6+a_7)>0,\end{aligned}$$

a zbrajanjem nejednakosti (2)

$$\begin{aligned}&(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)+(a_2+a_3+a_4+a_5+a_6)\\&\quad+(a_3+a_4+a_5+a_6+a_7)<0.\end{aligned}$$

Lijeve strane ovi nejednakosti su jednake, pa imamo kontradikciju. Znači $n<7$. Najdulji takav niz ima 6 članova.