3. Zadatak

(a) Ovaj dio zadatka može se riješiti metodom pokušaja i pogrešaka (smije se koristiti (b) dio zadatka) i zadan je da bi učenicima dao ideju za dokaz pod (b). Ima puno rješenja, a jedno od njih je

$$\begin{aligned}A&=3650,\\B&=6350.\end{aligned}$$

(b) Neka su

$$\begin{aligned}A&=\overline{a_na_{n-1}\ldots a_1},\\B&=\overline{b_nb_{n-1}\ldots b_1}.\end{aligned}$$

Tada je zbog uvjeta $A+B=10^n$ zbroj njihovih zadnjih znamenki jednak 0 ili 10. Kad bi bilo $a_1+b_1=10$, onda bi iz uvjeta $A+B=10^n$ slijedilo da je zbroj

$$a_k+b_k=9,$$

za sve $k=2,3,\ldots n$. Zbrajanjem svih dobivenih jednakosti dobiva se

$$\begin{aligned}&a_1+a_2+\ldots+a_n+b_1+b_2+\ldots+b_n\\&\quad=(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+\ldots+(a_n+b_n)=10+9(n-1).\end{aligned}$$

Međutim, lijeva strana te jednakosti je paran broj jer su znamenke broja $B$ zapravo jednake znamenkama broja $A$ (samo u nekom drugom poretku), pa se svaka znamenka pojavljuje u zbroju dva puta. Desna strana iste jednakosti je neparna jer je $n$ paran broj pa je $9(n-1)$ neparan broj. Time smo došli do kontradikcije. Dakle, $a_1+b_1=0$, pa mora biti $a_1=b_1=0$, odnosno svaki od brojeva $A$ i $B$ je djeljiv s 10.