Za dokaz da je zadani izraz prirodan broj dovoljno ga je izračunati. Prvi korak u računu je iz danih jednakosti odrediti vrijednosti izraza x 2 + y 2 x^2+y^2 x 2 + y 2 x y xy x y
8 = x 4 + x 2 y 2 + y 4 = ( x 2 + y 2 ) 2 − ( x y ) 2 = ( x 2 + x y + y 2 ) ( x 2 − x y + y 2 ) = 4 ( x 2 − x y + y 2 ) , \begin{aligned}8&=x^4+x^2y^2+y^4\\&=(x^2+y^2)^2-(xy)^2\\&=(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)\\&=4(x^2-xy+y^2),\end{aligned} 8 = x 4 + x 2 y 2 + y 4 = ( x 2 + y 2 ) 2 − ( x y ) 2 = ( x 2 + x y + y 2 ) ( x 2 − x y + y 2 ) = 4 ( x 2 − x y + y 2 ) , gdje smo u posljednjem retku koristili prvu jednakost. Dakle,
x 2 − x y + y 2 = 2. x^2-xy+y^2=2. x 2 − x y + y 2 = 2. Zbrajanjem i oduzimanjem prve od zadanih jednakosti i ove posljednje dobivene slijedi:
x 2 + y 2 = 3 , x y = 1. \begin{aligned}x^2+y^2&=3,\\xy&=1.\end{aligned} x 2 + y 2 x y = 3 , = 1. Napomena. Učenik može riješiti ovaj sustav i dobiti: x = 5 − 1 2 x=\dfrac{\sqrt5-1}{2} x = 2 5 − 1 y = 5 + 1 2 y=\dfrac{\sqrt5+1}{2} y = 2 5 + 1 x 6 + x 3 y 3 + y 6 x^6+x^3y^3+y^6 x 6 + x 3 y 3 + y 6
Koristeći formulu za zbroj kubova zadani izraz može se zapisati u obliku
x 6 + x 3 y 3 + y 6 = ( x 2 + y 2 ) ( x 4 − x 2 y 2 + y 4 ) + x 3 y 3 = ( x 2 + y 2 ) [ ( x 4 + x 2 y 2 + y 4 ) − 2 x 2 y 2 ] + x 3 y 3 . \begin{aligned}x^6+x^3y^3+y^6&=(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)+x^3y^3\\&=(x^2+y^2)[(x^4+x^2y^2+y^4)-2x^2y^2]+x^3y^3.\end{aligned} x 6 + x 3 y 3 + y 6 = ( x 2 + y 2 ) ( x 4 − x 2 y 2 + y 4 ) + x 3 y 3 = ( x 2 + y 2 ) [( x 4 + x 2 y 2 + y 4 ) − 2 x 2 y 2 ] + x 3 y 3 . Uvrštavanjem dobivenih vrijednosti x 2 + y 2 = 3 x^2+y^2=3 x 2 + y 2 = 3 x y = 1 xy=1 x y = 1 x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 8 x^4+x^2y^2+y^4=8 x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 8
x 6 + x 3 y 3 + y 6 = 3 ( 8 − 2 ⋅ 1 2 ) + 1 3 = 19. x^6+x^3y^3+y^6=3(8-2\cdot1^2)+1^3=19. x 6 + x 3 y 3 + y 6 = 3 ( 8 − 2 ⋅ 1 2 ) + 1 3 = 19. 