4. Zadatak

Uvedimo oznake kao na slici. Simetrale unutarnjeg i vanjskog kuta sijeku se pod pravim kutom jer je kut među njima jednak

$$\frac\gamma2+\left(\frac{180^\circ-\gamma}{2}\right)=90^\circ.$$

Budući da je $|CL|=|CM|$ trokut $CLM$ je jednakokračan pravokutan. Stoga je $\angle CLM=\angle MLC=45^\circ$, kako je to vanjski kut $\triangle ALC$ i unutarnji kut $\triangle CLB$ slijedi

$$(*)\quad\begin{cases}\alpha+\dfrac\gamma2=45^\circ,\\\beta+\dfrac\gamma2=135^\circ.\end{cases}$$

Preostali dio može se napraviti na dva načina.

Prvi način. Uočimo da je dovoljno pokazati da je trokut sa stranicama duljina $|AC|$, $|BC|$ i $2R$ pravokutan.

Neka je $D$ točka na opisanoj kružnici trokuta $ABC$ takva da je $\angle ACD=90^\circ$.

Tada je $\triangle ACD$ pravokutan, pa je $|AD|$ promjer kružnice, $|AD|=2R$. Kako je jedna kateta $\overline{AC}$, prema prethodnom, dovoljno je pokazati da je $|CD|=|BC|$.

Iz tetivnog četverokuta $ABCD$ imamo $\angle ADC=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-\beta$, pa je

$$\angle DAC=90^\circ-\angle ADC=\beta-90^\circ.$$

No, prema $(*)$ $\beta-90^\circ=45^\circ-\dfrac\gamma2=\alpha$, pa su obodni kutovi nad tetivama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ jednaki. Stoga je $|BC|=|CD|$.

Drugi način. Neka je $D$ točka na kružnici opisanoj trokutu $ABC$ takva da je $|CB|=|CD|$. Tada je

$$\angle CAD=\angle BAC=\alpha$$

jer su to obodni kutovi nad tetivama jednake duljine, te

$$\angle CDA=180^\circ-\angle CBA=180^\circ-\beta$$

jer su to nasuprotni kutovi tetivnog četverokuta $ABCD$. U trokutu $ACD$ je

$$\begin{aligned}\angle ACD&=180^\circ-\angle DAC-\angle CDA=180^\circ-\alpha-(180^\circ-\beta)=\beta-\alpha\\&=(\beta+\tfrac\gamma2)-(\alpha+\tfrac\gamma2)=135^\circ-45^\circ=90^\circ,\end{aligned}$$

pa je to pravokutan trokut.

Pritom je hipotenuza jednaka promjeru kružnice $2R$, a katete su duljina $|AC|$ i $|BC|$. Dakle, po Pitagorinom poučku je

$$|AC|^2+|BC|^2=4R^2.$$