4. Zadatak

Da bi operacije bile definirane, mora biti $x\ne0$. Sada treba promatrati dva slučaja: $1^\circ$ $x>0$ i $2^\circ$ $x<0$. Nejednadžbu napišimo u obliku

$$\frac{x^2-2p^2}{px}<2.\tag{*}$$

$1^\circ$ $x>0$. Iz $(*)$ sređivanjem dobivamo

$$\begin{aligned}x^2-2p^2&<2px,\\(x-p)^2&<3p^2,\\|x-p|&<p\sqrt3,\end{aligned}$$

tj. $x\in\langle p-p\sqrt3,p+p\sqrt3\rangle$.

Zbog $x>0$ zadovoljava samo $x\in\langle0,p(1+\sqrt3)\rangle$.

$2^\circ$ $x<0$. Sada iz $(*)$ imamo

$$\begin{aligned}x^2-2p^2&>2px,\\(x-p)^2&>3p^2,\\|x-p|&>p\sqrt3,\\-x+p&>p\sqrt3,\\x&<p(1-\sqrt3),\end{aligned}$$

tj. $x\in\langle-\infty,(1-\sqrt3)p\rangle$.

Dakle, zadovoljava unija ova dva skupa, tj.

$$x\in\langle-\infty,(1-\sqrt3)p\rangle\cup\langle0,(1+\sqrt3)p\rangle.$$