2. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo li broj učenika s $x$ tada postoje prirodni brojevi $k$, $l$ i $m$ takvi da vrijedi

$$\begin{aligned}x&=8k+1,\\x&=7l+2,\\x&=6m+5.\end{aligned}$$

Iz prva dva uvjeta dobivamo:

$$8k=7l+1\Rightarrow8(k-1)=7(l-1)\Rightarrow k=7a+1\ \text{i}\ l=8a+1,\ a\in\mathbb N.$$

Iz druga dva uvjeta imamo:

$$7l=6m+3\Rightarrow7(l-3)=6(m-3)\Rightarrow l=6b+3\ \text{i}\ m=7b+3,\ b\in\mathbb N.$$

Odavde dobivamo

$$\begin{aligned}8a+1&=6b+3,\\8a&=6b+2\quad/:2\\4(a-1)&=3(b-1).\end{aligned}$$

Zato postoji pozitivan cijeli broj $p$ takav da je $a-1=3p$, tj. $a=3p+1$.

Slijedi,

$$x=8k+1=8\cdot[7a+1]+1=8\cdot[7\cdot(3p+1)+1]+1=168p+65.$$

Uvjet $100<x<300$ zadovoljava jedino $p=1$, odnosno, $x=233$.

Drugo rješenje.

Budući da je $x=8k+1$, mogući su ovi brojevi:

$$\begin{aligned} x={}&105,113,121,129,137,145,153,161,169,177,185,193,201,\\ &209,217,225,233,241,249,257,265,273,281,289,297. \end{aligned}$$

Od ovih brojeva uvjet $x=7l+2$ zadovoljavaju

$$x=121,177,233,289.$$

Od ovih brojeva uvjet $x=6m+5$ zadovoljava samo

$$x=233.$$

Dakle, u drugim razredima ima ukupno 233 učenika.