4. Zadatak

Dovoljno je prebrojiti moguće ”rasporede” prostih faktora u tablici. Rastav broja 270 na proste faktore je $270=2\cdot5\cdot3^3$.

Jasno je da će u svakom retku i svakom stupcu točno jedan broj biti djeljiv s 2, i točno jedan djeljiv s 5.

Faktore 2 i 5 u prvom retku možemo upisati na bilo koje od tri mjesta, a zatim u drugom retku na jedno od dva ”preostala” mjesta. Nakon toga je položaj tog faktora u trećem retku jednoznačno određen. Zato faktore 2 i 5 možemo upisati na po 6 načina.

Što se tiče djeljivosti s 3, ima malo više mogućnosti. Od tri broja u istom retku (ili stupcu), moguće je:

a) da je svaki djeljiv s 3 (ali ne s 9);

b) da je jedan djeljiv s 9 (ne s 27), jedan s 3 (ne s 9), a treći nije djeljiv s 3;

c) da je jedan djeljiv s 27 (ali ne s 81), a ostali nisu djeljivi s 3.

Mogući rasporedi faktora 3 po tablici su:

3	3	3
3	3	3
3	3	3

3	3	3
9	3	1
1	3	9

9	3	1
3	1	9
1	9	3

27	1	1
1	1	27
1	27	1

1	9	3
27	1	1
1	3	9

1. tri retka tipa a)
2. jedan redak tipa a) i dva retka tipa b)
3. tri retka tipa b)
4. tri retka tipa c)
5. jedan redak tipa c) i dva retka tipa b)

Drugih mogućnosti nema.

Prebrojimo moguće rasporede:

1. Samo je jedan ovakav raspored.
2. Biramo u koji od tri retka upisati $(3,3,3)$, zatim upišemo u jedan redak neku od 6 permutacija od $(9,3,1)$, a treći redak je jednoznačno određen. To možemo napraviti na $3\cdot6=18$ načina.
3. Prvi red možemo popuniti na 6 načina, drugi na dva načina, a treći na samo jedan način. Ukupno: 12 načina.
4. Ukupno $3\cdot2=6$ načina.
5. Slično kao pod 2., ukupno 18 načina.

Ukupan broj mogućnosti rasporeda faktora 3 je $1+18+12+6+18=55$.

Konačno, traženi ukupni broj mogućnosti je $6\cdot6\cdot55=1980$.