1. Zadatak

Treba odrediti znamenke $x$, $y$, $z$ tako da vrijedi

$$\begin{aligned}\overline{xyz}&=x+y+z+xy+yz+zx+xyz,\\100x+10y+z&=x+y+z+xy+yz+zx+xyz,\\99x+9y-xy&=yz+zx+xyz.\end{aligned}$$

Zato je

$$z=\frac{99x+9y-xy}{x+y+xy}.$$

Kako je $z$ znamenka, mora biti $z\leq9$, odnosno

$$99x+9y-xy\leq9x+9y+9xy,$$

odakle slijedi $90x\leq10xy$, tj. $y\geq9$. Naravno, i $y$ je znamenka pa je nužno $y=9$.

Uvrštavanjem dobivamo $z=\dfrac{99x+9\cdot9-9x}{x+9+9x}=\dfrac{90x+81}{10x+9}=9$.

Polazna jednakost je zadovoljena za $y=z=9$ i bilo koji $x$:

$$\begin{aligned}x+y+z+xy+yz+zx+xyz&=x+9+9+9x+81+9x+81x\\&=100x+99=\overline{x99}.\end{aligned}$$

Traženi brojevi su: 199, 299, 399, 499, 599, 699, 799, 899 i 999.