2. Zadatak

Neka je $p=a+\dfrac1b=b+\dfrac1c=c+\dfrac1a$. Treba dokazati da je $p=-abc$.

Množenjem ovih jednakosti s $b$, $c$, $a$ redom, dobivamo

$$ab+1=pb,\quad bc+1=pc,\quad ca+1=pa,$$

a njihovim oduzimanjem jednakosti:

$$b(a-c)=p(b-c),\quad c(b-a)=p(c-a),\quad a(c-b)=p(a-b).$$

Množenjem ovih triju jednakosti dobivamo

$$abc(a-c)(b-a)(c-b)=p^3(b-c)(c-a)(a-b).\qquad(*)$$

Iz danih jednakosti dobivamo

$$\begin{aligned}a-b&=\frac1c-\frac1b=\frac{b-c}{bc},\\b-c&=\frac1a-\frac1c=\frac{c-a}{ca},\\c-a&=\frac1b-\frac1a=\frac{a-b}{ab},\end{aligned}$$

te množenjem

$$(a-b)(b-c)(c-a)=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(abc)^2}.\qquad(**)$$

Ako bi dva od brojeva $a$, $b$, $c$ bili jednaki, bili bi jednaki sva tri. Zaključujemo da su dani brojevi međusobno različiti, tj. da je $(a-b)(b-c)(c-a)\neq0$.

Sada iz $(**)$ dobivamo $abc=\pm1$.

Iz $(*)$ je $p^3=-abc$, tj. $p^3=\mp1$, pa zaključujemo $p=\mp1$, te konačno $p=-abc$.