5. Zadatak

Neka je točka $S$ presjek simetrale $AE$ kuta $\angle BAC$ i visine $\overline{CD}$.

1. Očito je $\angle ACD=\angle BCD=54^\circ$, iz čega slijedi da je $\angle CAB=\angle CBA=36^\circ$, pa je $\angle CAE=18^\circ$. U trokutu $CAE$ je $\angle AEC=180^\circ-(108^\circ+18^\circ)$, tj. $\angle AEC=54^\circ$. To znači da je trokut $CSE$ jednakokračan, pa je $|SE|=|SC|$.

2. Neka je točka $F$ središte dužine $\overline{AE}$. To znači da je $FD$ srednjica trokuta $ABE$, pa je $FD\parallel BE$. Zbog toga je $\angle SDF=\angle SCE=54^\circ$ i $\angle SFD=\angle SEC=54^\circ$, jer su to kutovi uz presječnicu $CD$ odnosno $EF$. Zato je trokut $SFD$ jednakokračan, pa je $|SF|=|SD|$.

3. Kako je $|AE|=|AF|+|FE|$, a zbog $|AF|=|FE|$, vrijede redom jednakosti

$$\begin{aligned} |AE|&=|FE|+|FE|,\\ |AE|&=2|FE|,\quad\text{a zbog}\quad|FE|=|SF|+|SE|\quad\Longrightarrow\\ |AE|&=2(|SF|+|SE|),\\ |AE|&=2(|SD|+|SC|),\quad\text{a zbog}\quad|SD|+|SC|=|CD|\quad\Longrightarrow\\ |AE|&=2|CD| \end{aligned}$$