4. Zadatak

Neka su $a$, $b$, $c$ traženi prosti brojevi. Tada vrijedi jednakost

$$a\cdot b\cdot c=5(a+b+c).$$

Kako je desna strana jednakosti djeljiva s 5, zaključujemo da je i lijeva strana djeljiva s 5.

Zbog uvjeta zadatka nužno slijedi da je jedan od tri broja djeljiv s 5. Neka je $c=5$.

Tada je

$$\begin{aligned} a\cdot b\cdot5&=5(a+b+5)\\ a\cdot b&=a+b+5\\ ab-a&=b+5\\ a(b-1)&=b+5\\ a&=\frac{b+5}{b-1} \end{aligned}$$

ili dalje redom

$$a=\frac{b-1+6}{b-1}=\frac{b-1}{b-1}+\frac6{b-1}=1+\frac6{b-1}.$$

Broj $a$ će biti prirodan broj samo ako je razlomak $\frac6{b-1}$ prirodan broj.

$b-1=1$	$b-1=2$	$b-1=3$
$b=2$	$b=3$	nema rješenja
$a=7$	$a$ nema rješenja	$b-1=6$
		$b=7$
		$a=2$

$$a=2,\qquad b=7,\qquad c=5$$