4. Zadatak

Produžimo dužinu $\overline{BN}$ preko vrha $N$ do sjecišta $P$ sa stranicom $\overline{AC}$.

Kako dužina $\overline{AN}$ raspolavlja $\angle BAC$, tj. $\angle BAN=\angle NAP$, te kako pravokutni trokuti $BNA$ i $NPA$ imaju zajedničku stranicu slijedi da su oni sukladni.

Iz navedene sukladnosti slijedi da je trokut $BPA$ jednakokračan, pa je $|PC|=|AC|-|AP|=|AC|-|AB|$.

Kako je $\overline{AN}$ visina jednakokračnog trokuta $BPA$, slijedi da je $N$ polovište dužine $\overline{BP}$. Kako je $M$ polovište dužine $\overline{BC}$, slijedi da je dužina $\overline{MN}$ srednjica trokuta $BCP$.

Zbog toga je $|MN|=\frac12|PC|=\frac{|AC|-|AB|}{2}$.