5. Zadatak

Kako je $\angle MAD=\angle NAD=\frac\alpha2$, $\angle ADM=\angle ADN=90^\circ$ i $\overline{AD}$ zajednička stranica trokuta $\triangle AMD$ i $\triangle AND$, prema teoremu K-S-K o sukladnosti slijedi $\triangle AMD\cong\triangle AND$. Iz sukladnosti slijedi $|AM|=|AN|$.

S obzirom da je $\angle MBE=\angle PBE=\frac\beta2$, $\angle BEM=\angle BEP$ i $\overline{BE}$ zajednička stranica trokuta $\triangle BEM$ i $\triangle BEP$, prema teoremu K-S-K o sukladnosti slijedi $\triangle BEM\cong\triangle BEP$. Iz sukladnosti slijedi $|BM|=|BP|$.

Neka je $x=|AN|$, $y=|BP|$ i $n=|CN|$. Tada vrijedi $|CP|=2|CN|=2n$, $|AC|=|AN|+|NC|=x+n$ i $|BC|=|BP|+|PC|=y+2n$.

Dalje je $x+n=10$ i $y+2n=16$ odnosno $x=10-n$ i $y=16-2n$.

Budući da je $|AB|=|AM|+|MB|=|AN|+|BP|=x+y$, slijedi

$$\begin{aligned} x+y&=8\\ (10-n)+(16-2n)&=8\\ -3n&=8-10-16\\ -3n&=-18\\ n&=6. \end{aligned}$$

Dakle, $x=10-n=4$ i $y=16-2n=4$.

Na kraju, $|AM|:|MB|=|AN|:|BP|=x:y=4:4=1:1$.