5. Zadatak

SKICA

Kako su $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$ dijametri kružnice $k$, prema Talesovom poučku slijedi da su trokuti $PBD$ i $APC$ pravokutni.

Primjenom Pitagorinog poučka na ta dva trokuta dobivamo jednakosti $$|PB|^2+|PD|^2=|BD|^2\tag{1}$$ $$|PA|^2+|PC|^2=|AC|^2\tag{2}$$ Kako je $|BD|=|AC|=|AB|\sqrt2$, slijedi da je $|BD|^2=|AC|^2=2|AB|^2$.

Zbrajanjem jednakosti (1) i (2), te uvažavanjem prethodnog uvjeta slijedi $|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2=4|AB|^2$.