Zadan je četverokut ABCD s okomitim dijagonalama kojemu se može opisati kružnica. Točka M je presjek dijagonala AC i BD. Kolika je površina četverokuta ABCD ako je ∣AB∣=13, ∣DM∣=10 i ∣CD∣=26?
Rješenje
SKICA
Primjenom Pitagorinog poučka na trokut CDM slijedi ∣CM∣=∣CD∣2−∣DM∣2=262−102=24.
Lagano slijedi da su trokuti ABM i CDM slični. Naime, imaju po jedan pravi kut, te vrijedi ∠ABD=∠ACD i ∠BAC=∠BDC jer su to obodni kutovi nad istim tetivama.
Iz dokazane sličnosti slijedi omjer ∣AB∣:∣BM∣=∣CD∣:∣CM∣, odnosno 13:∣BM∣=26:24, odakle je ∣BM∣=12.
Sada je ∣BD∣=∣BM∣+∣DM∣=12+10=22.
Iz omjera ∣AM∣:∣AB∣=∣DM∣:∣CD∣ slijedi ∣AM∣:13=10:26, odakle je ∣AM∣=5.
Sada je ∣AC∣=∣AM∣+∣CM∣=5+24=29.
Kako četverokut ABCD ima okomite dijagonale, za površinu vrijedi
P(ABCD)=2∣AC∣⋅∣BD∣=229⋅22=319.
