5. Zadatak

Budući da tražimo cjelobrojne vrijednosti duljina dužina $\overline{KL}$ i $\overline{MK}$, označimo $m=|KL|$ i $n=|MK|$.

Iz $KL\parallel DC$ slijedi $\angle BLK=\angle BCD$, a očito je $\angle KBL=\angle DBC$, pa prema poučku K – K o sličnosti vrijedi $\triangle DBC\sim\triangle KBL$. Analogno vrijedi $\triangle ABD\sim\triangle MKD$.

Iz pokazanih sličnosti slijede relacije $\frac{|KL|}{|DC|}=\frac{|KB|}{|DB|}$ i $\frac{|MK|}{|AB|}=\frac{|DK|}{|DB|}$, odnosno $\frac m{48}=\frac{|KB|}{|DB|}$ i $\frac n{72}=\frac{|DK|}{|DB|}$.

Zbrojimo li te dvije relacije dobivamo $$\frac n{72}+\frac m{48}=\frac{|DK|}{|DB|}+\frac{|KB|}{|DB|}=\frac{|DK|+|KB|}{|DB|}=\frac{|DB|}{|DB|}=1.$$ Prema tome, duljine dužina $\overline{KL}$ i $\overline{MK}$, tj. brojevi $m$ i $n$ zadovoljavaju jednadžbu $$\frac n{72}+\frac m{48}=1.\tag{3}$$ Odredimo ponajprije sva cjelobrojna rješenja jednadžbe (3). Iz jednadžbe slijedi $2n+3m=144$, odakle je $n=\frac{144-3m}{2}=\frac{144-4m+m}{2}=72-2m+\frac m2$. Kako je $n$ cijeli broj, slijedi da je $m$ paran, tj. $m=2k$, $k\in\mathbb Z$.

Tada je $n=72-2\cdot2k+\frac{2k}{2}=72-3k$, $k\in\mathbb Z$ i time su dana sva cjelobrojna rješenja jednadžbe (3).

Međutim, za duljine $m$ i $n$ moraju vrijediti nejednakosti $0<m<|DC|$ i $0<n<|AB|$, odnosno $0<2k<48$ i $0<72-3k<72$. Iz prvog uvjeta slijedi $0<k<24$, a iz drugog $0<24-k<24$. Prvi uvjet je zadovoljen za $k\in\{1,2,3,\ldots,23\}$, a očito je i drugi uvjet ispunjen za sve cijele $k$ iz tog skupa.

Prema tome, možemo odabrati $23$ međusobno različite točke dijagonale $\overline{BD}$ uz tražene uvjete.