3. Zadatak

Između bilo kojih $2006$ uzastopnih prirodnih brojeva, uvijek su $1003$ parna i $1003$ neparna broja.

Kako za bilo koji paran broj vrijedi $(2n)^2=2^2n^2=4n^2$, kvadrat svakog parnog broja je djeljiv s $4$. Slično, za bilo koji neparan broj vrijedi $(2m+1)^2=4m^2+4m+1=4(m^2+m)+1$, pa kvadrat svakog neparnog broja pri dijeljenju s $4$ daje ostatak $1$.

S obzirom da je $1003=4\cdot250+3$, slijedi da zbroj kvadrata bilo kojih $2006$ uzastopnih prirodnih brojeva pri dijeljenju s $4$ daje ostatak $3$. No, kvadrat bilo kojeg prirodnog broja pri dijeljenju s $4$ daje ostatak $0$ ili $1$, pa zbroj kvadrata bilo kojih $2006$ uzastopnih prirodnih brojeva nije kvadrat prirodnog broja.