1. Zadatak

Označimo $10^{2005}=n$. Tada dane razlomke možemo pisati u sljedećem obliku: $$\frac{n+1}{10n+1}\quad\text{i}\quad\frac{10n+1}{100n+1}.$$ Promotrimo sada razliku ta dva razlomka. Imamo da je $$\begin{aligned}\frac{n+1}{10n+1}-\frac{10n+1}{100n+1}&=\frac{(n+1)(100n+1)-(10n+1)^2}{(10n+1)(100n+1)}\\&=\frac{100n^2+n+100n+1-(100n^2+20n+1)}{(10n+1)(100n+1)}\\&=\frac{81n}{(10n+1)(100n+1)}.\end{aligned}$$ Kako je dobivena razlika pozitivna, slijedi da je prvi razlomak veći od drugog odnosno, $$\frac{10^{2005}+1}{10^{2006}+1}>\frac{10^{2006}+1}{10^{2007}+1}.$$