5. Zadatak

Zadan je kvadrat $ABCD$ . Na stranici $\overline{CD}$ odabrana je točka $E$ , tako da je $|DE|:|EC|=2:3$ , a točka $F$ je polovište stranice $\overline{BC}$ . Dužine $\overline{AE}$ i $\overline{DF}$ sijeku se u točki $M$ . Što je veće: površina trokuta $AFM$ ili površina četverokuta $MFCE$ ?

Rješenje

Kvadrat i sjecište M

1. način Neka je $a$ duljina stranice kvadrata. Tada je $P(ABCD)=a^2$ , gdje $P$ označava površinu. Za jednakokračan trokut $AFD$ vrijedi $P(AFD)=\frac12a\cdot a=\frac12a^2=\frac12P(ABCD)$ .

Promotrimo sada trokut $AED$ . Zbog uvjeta zadatka slijedi jednakost $|DE|=\frac25|CD|=\frac25a$ , odakle je $P(AED)=\frac12\cdot a\cdot\frac25\cdot a=\frac15a^2=\frac15P(ABCD)$ . Kako je trokut $AMD$ dio trokuta $AED$ , za površine vrijedi $P(AMD)<P(AED)$ , tj. $P(AMD)<\frac15P(ABCD)$ .

Kako je $P(AMD)+P(AFM)=P(AFD)=\frac12P(ABCD)$ i budući da je $P(AMD)<\frac15P(ABCD)$ , dobivamo $P(AFM)=\frac12P(ABCD)-P(AMD)>\frac12P(ABCD)-\frac15P(ABCD)=\frac3{10}P(ABCD)$ , tj. $P(AFM)>\frac3{10}P(ABCD).\tag{2}$ Dalje je $P(FCD)=\frac12\cdot a\cdot\frac12a=\frac14a^2=\frac14P(ABCD)$ , a kako je četverokut $MFCE$ dio trokuta $FCD$ slijedi $P(MFCE)<\frac14P(ABCD).\tag{3}$ Kako je $\frac14<\frac3{10}$ , zbog (2) i (3) vrijedi $P(MFCE)<\frac14P(ABCD)<\frac3{10}P(ABCD)<P(AFM),$ pa je površina trokuta $AFM$ veća od površine četverokuta $MFCE$ .

2. način Zadatak možemo riješiti tako da eksplicitno izračunamo površine traženog trokuta i četverokuta. Zadržimo oznake iz prvog načina rješavanja, te produžimo pravce $AB$ i $DF$ do sjecišta $N$ kao na slici:

Produženi pravci i sjecište N

Očito su pravokutni trokuti $FCD$ i $FBN$ sukladni jer je $|CF|=|FB|$ i $\angle DFC=\angle BFN$ (vršni kutovi). Iz te sukladnosti slijedi $|BN|=|DC|=a$ , pa je $|AN|=|AB|+|BN|=2a$ .

Promotrimo sada trokute $ANM$ i $DME$ . Oni su slični jer je $\angle AMN=\angle DME$ (vršni kutovi) i $\angle MAN=\angle MED$ (kutovi uz presječnicu). Iz te sličnosti imamo omjer $\frac{|AM|}{|ME|}=\frac{|AN|}{|DE|}=\frac{2a}{\frac{2a}5}=5$ , tj. $|AM|:|ME|=5:1$ .

Promotrimo sada trokute $AMD$ i $DME$ . Oni imaju zajedničku visinu iz vrha $D$ , pa im se površine odnose kao odgovarajuće nasuprotne stranice, tj. $\frac{P(AMD)}{P(DME)}=\frac{|AM|}{|ME|}=5$ odnosno $P(AMD)=5P(DME)$ . Zbog toga je $P(AMD)=\frac56P(AED)=\frac56\cdot\frac15P(ABCD)=\frac16P(ABCD)$ .

Zbog toga za površinu trokuta $AFM$ vrijedi $P(AFM)=P(AFD)-P(AMD)=\frac12P(ABCD)-\frac16P(ABCD)=\frac13P(ABCD).$ S druge strane, $P(DME)=\frac16P(AED)=\frac16\cdot\frac15P(ABCD)=\frac1{30}P(ABCD)$ , pa za površinu četverokuta $MFCE$ vrijedi $P(MFCE)=P(DFC)-P(DME)=\frac14P(ABCD)-\frac1{30}P(ABCD)=\frac{13}{60}P(ABCD).$ Kako je $\frac{13}{60}P(ABCD)<\frac13P(ABCD)$ , slijedi da trokut $AFM$ ima veću površinu od četverokuta $MFCE$ .