3. Zadatak

Neka su $x$, $y$ i $z$ vremena (izražena u minutama), redom potrebna da se napuni bazen, ako ga puni samo prva, samo druga ili samo treća cijev.

Prva i druga cijev pune bazen za $20$ minuta. Za jednu minutu prva cijev napuni $\frac1x$ bazena, a druga $\frac1y$ bazena.

Za dvadeset minuta prva cijev napuni $\frac{20}x$ bazena, a druga $\frac{20}y$ bazena. Kako je tada bazen pun, slijedi jednakost $\frac{20}x+\frac{20}y=1$, odnosno $\frac1x+\frac1y=\frac1{20}$.

Analogno, druga i treća cijev pune bazen za $15$ minuta pa je $\frac1y+\frac1z=\frac1{15}$, a prva i treća cijev pune bazen za $12$ minuta pa je $\frac1x+\frac1z=\frac1{12}$. Dakle, dobivamo sustav jednadžbi $$\begin{aligned}\frac1x+\frac1y&=\frac1{20}\\\frac1y+\frac1z&=\frac1{15}\\\frac1x+\frac1z&=\frac1{12}.\end{aligned}$$ Zbrajanjem tih triju jednadžbi slijedi $$2\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)=\frac1{20}+\frac1{15}+\frac1{12}=\frac{3+4+5}{60}=\frac{12}{60}=\frac15,$$ odnosno $\frac1x+\frac1y+\frac1z=\frac1{10}$.

Neka je $n$ vrijeme izraženo u minutama potrebno da se bazen napuni sa sve tri cijevi. Tada je $\frac1x+\frac1y+\frac1z=\frac1n$, pa uspoređujući posljednje dvije jednakosti slijedi da je $n=10$. Prema tome, bazen se napuni sa tri cijevi za $10$ minuta.