2. Zadatak

Očito vrijedi $\overline{abba}=1000a+100b+10b+a=1001a+110b=11\cdot91a+11\cdot10b=11(91a+10b)$,

$\overline{aa}=10a+a=11a$ i $\overline{10b}=100\cdot1+b=100+b$.

Uvrstimo li dobivene prikaze brojeva u uvjet $\overline{aa}\cdot\overline{10b}=\overline{abba}$ slijedi da je $11a(100+b)=11(91a+10b)$, odnosno nakon kraćenja s $11$ i oslobađanja zagrada, $100a+ab=91a+10b$. Iz tog uvjeta slijedi $9a+ab=10b$, tj. $$a(9+b)=10b.\tag{1}$$ Kako je $10b$ djeljivo s $10$, onda i $a(9+b)$ mora biti djeljivo s $10$, pa imamo četiri slučaja:

1. Ako je $9+b$ djeljivo s $10$, slijedi da je $b=1$, pa je iz (1) $10a=10$, odnosno $a=1$ što nije moguće jer $a\ne b$.

2. Ako je $a$ djeljivo s $10$ slijedi da je $a=0$ što je nemoguće jer tražimo četveroznamenkaste brojeve.

3. Ako je $9+b$ djeljivo s $5$ i $a$ djeljivo s $2$, slijedi da je

(a) $b=1$, pa je $10a=10$, tj. $a=1$ što je nemoguće,

(b) $b=6$, pa je $15a=60$, odnosno $a=4$.

4. Ako je $9+b$ djeljivo s $2$ i $a$ djeljivo s $5$, slijedi da je

(a) $a=0$, što je nemoguće,

(b) $a=5$, pa je $5(9+b)=10b$, odnosno $b=9$.

Prema tome, traženi četveroznamenkasti brojevi su $4664$ i $5995$.