4. Zadatak

Neka je točka $N$ presjek simetrale kuta $\angle ACB$ i dužine $\overline{AP}$.

Promotrimo pravokutne trokute $ANC$ i $CNP$. Oni su sukladni zato jer im je $\overline{CN}$ zajednička stranica, $\angle ACN=\angle PCN$, zbog definicije simetrale kuta, i $\angle CNA=\angle CNP=90^\circ$.

Iz dokazane sukladnosti trokuta slijedi da je $|AC|=|CP|$, a kako je točka $P$ polovište dužine $\overline{BC}$, slijedi da je $|BC|=2|AC|$.

Prema uvjetu zadatka duljine stranica trokuta su tri uzastopna prirodna broja $n$, $n+1$ i $n+2$. Kako jedan od tih brojeva mora biti dvostruko veći od jednog od preostala dva, jer je $|BC|=2|AC|$, moguća su tri slučaja:

1. $n+1=2n$, tj. $n=1$, $n+1=2$, $n+2=3$, što nije moguće jer je $1+2=3$, pa nije zadovoljena nejednakost trokuta,

2. $n+2=2(n+1)$, tj. $n=0$, što nije moguće,

3. $n+2=2n$, tj. $n=2$, $n+1=3$, $n+2=4$, što je rješenje.

Dakle, duljine stranica trokuta su $2$, $3$ i $4$.