5. Zadatak

Ako su obočni bridovi piramide jednako nagnuti, onda projekcija vrha piramide pada u središte $P$ opisane kružnice baze. Ta je baza pravokutan trokut, pa je to središte polovište hipotenuze.

Nacrtajmo sliku:

Volumen piramide je $V=\frac13B\cdot h$. Odredimo najprije $B$. Zadana je hipotenuza $c$ i kut $\alpha$, pa su duljine kateta $c\sin\alpha$ i $c\cos\alpha$. Zato je

$$B=\frac12c\sin\alpha\cdot c\cos\alpha=\frac{c^2\sin2\alpha}{4}.$$

Visinu $h$ hipotenuze računamo iz pravokutnog trokuta $VPR$. Tu je $\overline{PR}$ srednjica trokuta $BCA$. Zato je

$$h=|PR|\cdot\operatorname{tg}\beta=\frac12c\cos\alpha\cdot\operatorname{tg}\beta.$$

Tako dobivamo

$$V=\frac13\cdot\frac{c^2\sin2\alpha}{4}\cdot\frac{c\cos\alpha\operatorname{tg}\beta}{2}=\frac{c^3}{24}\cos\alpha\sin2\alpha\operatorname{tg}\beta.$$