4. Zadatak

Produžimo stranicu $BC$ preko vrhova $B$ i $C$ do točaka $B'$ i $C'$ tako da je $|BB'|=|AB|=c$, $|CC'|=|AC|=b$. Tada su trokuti $AB'B$ i $AC'C$ jednakokračni, pa kut pri vrhu $B'$ iznosi $\beta/2$, a kut pri vrhu $C'$ iznosi $\gamma/2$.

Neka su $B''$, $C''$ polovišta dužina $\overline{AB'}$, $\overline{AC'}$.

Lako se vidi da trokut $AB''C''$ ima duljine stranica

$$|AB''|=c\cos\frac\beta2,\quad|AC''|=b\cos\frac\gamma2,\quad|B''C''|=s$$

i kut pri vrhu $A$ jednak

$$\alpha+\frac\beta2+\frac\gamma2=\pi-\frac{\beta+\gamma}{2}.$$

Zato je tražena jednakost upravo kosinusov poučak za stranicu $B''C''$ u tom trokutu.