5. Zadatak

Nacrtajmo sliku:

Polumjer kružnice je dijagonala pravokutnika, pa po Pitagorinom poučku njegova duljina iznosi

$$r=|AC|=\sqrt{20^2+15^2}=25.$$

Tražimo duljinu tetive $\overline{EF}$. Neka je $T$ njezino polovište. $\overline{AT}$ je okomito na $\overline{EF}$, pa je $\overline{AT}$ visina trokuta $BAD$. Iz formule za površinu pravokutnog trokuta $BAD$ (ili iz sličnosti trokuta $ATD$ i $BAD$) dobivamo

$$|AT|=\frac{|AB|\cdot|AD|}{|BD|}=12.$$

Sada iz Pitagorinog poučka za trokut $ATE$ slijedi:

$$\left(\frac{|EF|}{2}\right)^2=|ET|^2=r^2-|AT|^2=481$$

odnosno $|EF|=2\sqrt{481}$.

Napomena. (Drugo rješenje): Zadatak se može riješiti i koordinatnom metodom. Pravokutnik postavimo u koordinatni sustav tako da je $A(0,0)$, $B(20,0)$, $C(20,15)$ i $D(0,15)$.

Spomenuta kružnica je skup svih $T(x,y)$ za koje je $|AT|=25$, odnosno $x^2+y^2=625$. Pravac kroz točke $B$ i $D$ ima jednadžbu $3x+4y=60$.

Sada je moguće odrediti njihova sjecišta (krajeve spomenute tetive), i izračunati njihovu udaljenost.