1. Zadatak

Napišimo jednadžbu u obliku

$$\sqrt{2x+1}-3=\sqrt{x+7}-\sqrt{x+3}.$$

Da bi korijeni bili definirani, izrazi $x+7$ i $x+3$ moraju biti pozitivni. Onda je $\sqrt{x+7}>\sqrt{x+3}$ pa je desna strana pozitivna. Zato mora i lijeva strana biti pozitivna, odakle slijedi $\sqrt{2x+1}>3$, odnosno $x>4$. Kad su obje strane pozitivne, kvadriranjem ćemo dobiti ekvivalentnu jednadžbu:

$$\begin{aligned} 2x+1-6\sqrt{2x+1}+9&=x+7+x+3-2\sqrt{(x+7)(x+3)},\\ 3\sqrt{2x+1}&=\sqrt{(x+7)(x+3)},\\ 18x+9&=x^2+10x+21,\\ x^2-8x+12&=0. \end{aligned}$$

Rješenja ove jednadžbe su $x=2$ i $x=6$. Zbog uvjeta $x>4$, samo je $x=6$ rješenje početne jednadžbe.

Napomena 1. Učenik ne mora načiniti analizu lijeve i desne strane u prvoj jednakosti. Umjesto toga, može provjeriti zadovoljavaju li dobiveni brojevi početnu jednadžbu. Za $x=2$ ona glasi

$$\sqrt5-3=\sqrt9-\sqrt5$$

pa jednadžba nije zadovoljena, a za $x=6$ dobivamo istinitu jednakost.

$$\sqrt{13}-3=\sqrt{13}-\sqrt9$$

Napomena 2. Ukoliko se jednadžba kvadrira u početnom obliku, izrazi će se ponešto zakomplicirati. Nakon prvog kvadriranja i sređivanja, dobiva se

$$\sqrt{(2x+1)(x+3)}=3\sqrt{x+7}-(x-6).$$

Nakon drugog kvadriranja i sređivanja dobivamo

$$x^2+10x-96=6(x-6)\sqrt{x+7}.$$

Sad je potrebno jednadžbu napisati u obliku:

$$(x-6)(x+16)=6(x-6)\sqrt{x+7}.$$

Odavde slijedi $x=6$, ili

$$x+16=6\sqrt{x+7}.$$

Sad treba provjeriti da je $x=6$ rješenje jednadžbe. Iz ostatka kvadriranjem dobivamo

$$x^2+32x+256=36(x+7),\qquad x^2-4x+4=0$$

i odavde $x=2$, što nije rješenje početne jednadžbe.