2. Zadatak

Prvo rješenje. Promotrimo trokut $ABD$. Točka $E$ leži na simetrali kuta $\angle ABD$ i na vanjskoj simetrali kuta $\angle BAD$, jer je $\angle CAD=60^\circ=\dfrac{180^\circ-\angle BAD}{2}$.

Iz toga slijedi da je $E$ središte pripisane kružnice trokuta $ABD$ (središte kružnice koja dira $AD$ i produžetke stranica $BA$ i $BD$). Zato $E$ leži i na vanjskoj simetrali kuta $\angle BDA$, dakle $ED$ je simetrala kuta $\angle ADC$. Analogno je $FD$ simetrala kuta $\angle ADB$.

Odatle slijedi $\angle EDF=90^\circ$, te po Talesovom teoremu i tvrdnja zadatka.

Drugo rješenje. Primijenimo sinusov poučak na trokut $ABC$:

$$\frac{|AC|}{\sin\beta}=\frac{|BC|}{\sin120^\circ},\quad\text{tj.}\quad\frac{|AC|}{|BC|}=\frac2{\sqrt3}\sin\beta.$$

Kako je $CF$ simetrala $\angle BCA$, slijedi

$$\frac{|AF|}{|FB|}=\frac{|AC|}{|CB|},$$

pa slijedi

$$\frac{|AF|}{|FB|}=\frac2{\sqrt3}\sin\beta.$$

Primjenom sinusovog poučka na trokut $ABD$ dobivamo:

$$\frac{|AD|}{\sin\beta}=\frac{|BD|}{\sin60^\circ},\quad\text{tj.}\quad\frac{|AD|}{|BD|}=\frac2{\sqrt3}\sin\beta.$$

Sada slijedi

$$\frac{|AD|}{|BD|}=\frac{|AF|}{|FB|},$$

tj. $FD$ je simetrala kuta $\angle ADB$.

Analogno zaključujemo da je $ED$ simetrala kuta $\angle ADC$. Zato je $\angle EDF=90^\circ$ i tvrdnja zadatka slijedi.