1. Zadatak

Vidi Zadatak 4A-1.

a) Dokažimo najprije da $n$ nije potpun kvadrat. Podijelimo prirodne (cijele) brojeve u klase u zavisnosti o tome koliki im je ostatak pri dijeljenju s $4$, te izračunajmo njihove kvadrate:

$$\begin{aligned}(4k)^2&=16k^2\equiv0\pmod4\\(4k+1)^2&=16k^2+8k+1\equiv1\pmod4\\(4k+2)^2&=16k^2+16k+4\equiv0\pmod4\\(4k+3)^2&=16k^2+24k+9\equiv1\pmod4.\end{aligned}$$

Odavde zaključujemo da potpun kvadrat može biti ili djeljiv s $4$ ili daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $4$. Zato $n$ nije potpun kvadrat, jer on pri dijeljenju s $4$ daje ostatak $3$.

Djelitelje broja $n$ možemo stoga podijeliti u parove različitih brojeva: $d$ i $\dfrac nd$, pri čemu je $d<\sqrt n$ bilo koji djelitelj broja $n$. Zato je tih djelitelja paran broj.

b) Da bismo dokazali traženu tvrdnju dovoljno je dokazati da je $d+\dfrac nd$ djeljivo s $24$ za svaki djelitelj $d$. Dakle, želimo dokazati

$$24\mid\frac{d^2+n}{d}.$$

Jer je $n$ oblika $n=24k-1$, djelitelj $d$ broja $n$ relativno je prost s $24$. Zato je dovoljno dokazati da $24\mid d^2+n$, odnosno da $24\mid d^2-1$, jer je $n$ oblika $24k-1$.

Jer je $d$ relativno prost s $24$, on nije paran, niti je djeljiv s $3$.

Vrijedi $d^2-1=(d-1)(d+1)$. Budući da $d$ nije paran, jedan od ovih faktora mora biti djeljiv s $4$, a drugi s $2$. Zato je $d^2-1$ djeljiv s $8$.

Također, $d$ nije djeljiv s $3$, pa je jedan od brojeva $d-1$ ili $d+1$ djeljiv s $3$. Prema tome, $d^2-1$ je djeljiv s $24$, čime smo dokazali traženu tvrdnju.