5. Zadatak
U Sunčevom sustavu otkriven je novi planet! Dakle, oko Sunca kruži 10 planeta. Dokaži da se u svakom trenutku na površini Sunca može pronaći točka iz koje su vidljiva najviše 4 planeta.
(Općepoznata pretpostavka je da svi planeti i Sunce imaju oblik kugle te da svaki planet ima manji polumjer od Sunca. Druga saznanja o planetama molimo ne koristiti.)
Rješenje
Za svaki planet promotrimo skup svih točaka na površini Sunca iz kojih ga je moguće vidjeti. To je sferna kapica čija površina je manja od , gdje je sa označen iznos Sunčeve površine (kao površine sfere). Zbroj površina svih tih kapica je manji od .
S druge strane, kad bi se iz svake točke na Suncu vidjelo barem 5 planeta, onda bi te sferne kapice 5 puta prekrivale Sunčevu površinu pa bi zbroj njihovih površina bio barem . Kontradikcija.