1. Zadatak

Jednakost

$$2\log\frac{a-b}{2}=\log a+\log b-\log2$$

možemo zapisati u obliku

$$\log\left(\frac{a-b}{2}\right)^2=\log\frac{ab}{2},$$

tj.

$$\left(\frac{a-b}{2}\right)^2=\frac{ab}{2},$$

odakle množenjem slijedi

$$a^2+b^2=4ab.$$

Sada se sjetimo da se radi o pravokutnom trokutu pa je $a^2+b^2=c^2$, odakle dobivamo

$$c^2=4ab.$$

Nadalje, zbog $\sin\alpha=\dfrac ac$, $\cos\alpha=\dfrac bc$, je

$$4ab=4\cdot c\sin\alpha\cdot c\cos\alpha=4c^2\sin\alpha\cdot\cos\alpha,$$

pa možemo posljednju jednakost zapisati u obliku

$$4\sin\alpha\cos\alpha=1,$$

tj.

$$\sin2\alpha=\frac12.$$

Slijedi $2\alpha=30^\circ$ ili $2\alpha=150^\circ$, tj. $\alpha=15^\circ$ ili $\alpha=75^\circ$.

Budući da mora biti $\dfrac{a-b}{2}>0$ (kako bi logaritam s početka zadatka bio definiran), zaključujemo $a>b$, tj. $\alpha>\beta=90^\circ-\alpha$, pa dolazi u obzir jedino rješenje

$$\alpha=75^\circ,\ \beta=15^\circ.$$