2. Zadatak

Uvjete možemo standardno zapisati $a=4$, $b=5$, $\gamma=2\alpha$.

Prema poučku o sinusima imamo

$$\frac ca=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}=\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha}=2\cos\alpha$$

pa je $\cos\alpha=\dfrac c8$. S druge strane, poučak o kosinusima daje

$$\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{c^2+9}{10c}$$

pa uspoređivanjem dobivamo jednadžbu

$$\frac c8=\frac{c^2+9}{10c},$$

odakle je $c=6$.

Sada je $\cos\alpha=\dfrac68=\dfrac34$, što daje $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt7}{4}$. Iz formule $a=2R\sin\alpha$ možemo izračunati radijus opisane kružnice $R$.

$$R=\frac a{2\sin\alpha}=\frac8{\sqrt7}=\frac{8\sqrt7}{7}.$$

Površina trokuta je jednaka $P=\dfrac12bc\sin\alpha=\dfrac12\cdot5\cdot6\cdot\dfrac{\sqrt7}{4}=\dfrac{15\sqrt7}{4}$, a poluopseg mu je jednak $s=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{4+5+6}{2}=\dfrac{15}{2}$ pa konačno možemo izračunati i radijus upisane kružnice.

$$r=\frac Ps=\frac{\frac{15\sqrt7}{4}}{\frac{15}{2}}=\frac{\sqrt7}{2}.$$