5. Zadatak

Dana nejednakost je redom ekvivalentna sa sljedećima:

$$\begin{aligned}\frac{1-ab}{a+b}+\frac{1-bc}{b+c}+\frac{1-ca}{c+a}&\geq\sqrt3,\\\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{ca+ab}{b+c}+\frac{ab+bc}{c+a}&\geq\sqrt3,\\a+b+c&\geq\sqrt3,\quad/{}^2\\a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)&\geq3,\\a^2+b^2+c^2+2\cdot1&\geq3,\\a^2+b^2+c^2&\geq1,\\a^2+b^2+c^2&\geq ab+bc+ca,\\\frac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]&\geq0.\end{aligned}$$

Kako je ova nejednakost ispunjena, vrijedi i polazna.